9 Докажите, что в параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.

Доказательство:

Пусть дан параллелограмм ABCD. Проведем диагональ AC.

Рассмотрим треугольники ABC и ADC:

• Сторона AC — общая.
• Углы ∠BAC и ∠ACD равны как накрест лежащие при параллельных AB и CD и секущей AC.
• Углы ∠BCA и ∠CAD равны как накрест лежащие при параллельных BC и AD и секущей AC.

Следовательно, треугольники ABC и ADC равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам).

Из равенства треугольников следует, что:

• AB = CD и BC = AD (противоположные стороны равны).
• ∠B = ∠D (противоположные углы равны).

Аналогично, проведя диагональ BD, доказываем равенство углов ∠A и ∠C.

Что и требовалось доказать.