11. Тип 16 № 8107 Биссектриса внешнего угла при вершине В треугольника АВС параллельна стороне АС. Найдите величину угла САВ, если ∠ABC = 36°. Ответ дайте в градусах. Запишите решение и ответ.

Дано:

• Треугольник АВС.
• ∠ABC = 36°.
• BD - биссектриса внешнего угла при вершине В.
• BD || AC.

Найти: ∠CAB

Решение:

1. Пусть ∠ABC = β = 36°.
2. Внешний угол при вершине В равен 180° - β = 180° - 36° = 144°.
3. BD - биссектриса внешнего угла, значит, она делит его пополам:
4. ∠ABD_внешн = 144° / 2 = 72°.
5. Так как BD || AC, то ∠DBA_внешн и ∠BAC являются накрест лежащими углами при параллельных прямых BD и AC и секущей AB.
6. Следовательно, ∠BAC = ∠DBA_внешн.
7. ∠CAB = 72°.
8. (Альтернативное объяснение с использованием соответственных углов):
9. Пусть ∠ABC = β = 36°.
10. Внешний угол при вершине В равен 180° - 36° = 144°.
11. Биссектриса BD делит внешний угол пополам: ∠CBD_внешн = 144° / 2 = 72°.
12. Проведем прямую через B, параллельную AC. Пусть эта прямая пересекает BC в точке B.
13. Пусть точка E находится на продолжении AB. Тогда ∠EBC - внешний угол. BD - его биссектриса.
14. BD || AC.
15. ∠DBC (внешний) = 72°.
16. ∠ACB = 36°, так как ∠ABC = 36° и BD || AC, образуются равные углы между секущей BC и параллельными прямыми BD и AC. Это неверно.
17. Правильное рассуждение:
18. BD || AC.
19. Секущая AB: ∠DBA_внешн = ∠BAC (накрест лежащие).
20. Секущая BC: ∠DBC_внешн = ∠BCA (накрест лежащие).
21. У нас ∠ABC = 36°.
22. Внешний угол при B = 180 - 36 = 144°.
23. Биссектриса BD делит его пополам: ∠DBA_внешн = 72°, ∠DBC_внешн = 72°.
24. Так как ∠DBA_внешн = ∠BAC, то ∠BAC = 72°.
25. Также ∠DBC_внешн = ∠BCA = 72°.
26. В треугольнике АВС: ∠A = 72°, ∠C = 72°, ∠B = 180 - (72+72) = 180 - 144 = 36°. Это соответствует условию.

Ответ: 72°