7. Тип 16 № 1336 Высоты, проведенные к боковым сторонам АВ и АС остроугольного равнобедренного треугольника АВС, пересекаются в точке М. Найдите углы треугольника, если угол ВМС равен 140°.

Дано:

• Треугольник АВС - остроугольный, равнобедренный (AB = AC).
• BD и CE - высоты, BD ⊥ AC, CE ⊥ AB.
• BD и CE пересекаются в точке М.
• ∠BMC = 140°.

Найти: Углы треугольника АВС (∠A, ∠B, ∠C).

Решение:

1. Рассмотрим четырехугольник ADME. В нем ∠ADB = ∠AEC = 90° (так как BD и CE - высоты).
2. Сумма углов четырехугольника равна 360°.
3. ∠DAE + ∠ADB + ∠AEC + ∠DME = 360°.
4. ∠A + 90° + 90° + ∠DME = 360°.
5. ∠A + ∠DME = 180°.
6. ∠DME и ∠BMC - вертикальные углы, следовательно, ∠DME = ∠BMC = 140°.
7. ∠A + 140° = 180°.
8. ∠A = 180° - 140° = 40°.
9. Так как треугольник АВС равнобедренный с основанием ВС, то ∠B = ∠C.
10. Сумма углов треугольника равна 180°: ∠A + ∠B + ∠C = 180°.
11. 40° + 2∠B = 180°.
12. 2∠B = 180° - 40° = 140°.
13. ∠B = 140° / 2 = 70°.
14. Следовательно, ∠C = 70°.

Ответ: ∠A = 40°, ∠B = 70°, ∠C = 70°.