11. В треугольнике ABC AB = BC. BE — медиана треугольника ABC, угол ABE = 41°. Найдите углы ABC и CEB.

Решение:

1. Анализ треугольника ABC:
   • Так как AB = BC, то треугольник ABC — равнобедренный.
   • BE — медиана, проведенная к основанию AC. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также биссектрисой и высотой.
   • Следовательно, BE — биссектриса угла ABC, а значит, ∠ABC = 2 * ∠ABE.
   • ∠ABC = 2 * 41° = 82°.
   • BE также является высотой, поэтому BE ⊥ AC, значит, ∠BEA = 90°.
2. Нахождение угла CEB:
   • В треугольнике ABE: ∠AEB = 90°, ∠ABE = 41°. Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому ∠BAE = 180° - 90° - 41° = 49°.
   • Так как BE — медиана к основанию AC в равнобедренном треугольнике, то треугольники ABE и CBE равны (по двум сторонам и углу между ними: AB=BC, BE=BE, ∠ABE=∠CBE).
   • Следовательно, ∠AEB = ∠CEB = 90°.
   • Угол CEB является частью угла ACB. Угол ACB = ∠BAE = 49° (углы при основании равнобедренного треугольника).
   • В треугольнике BCE: ∠CBE = ∠ABE = 41°, ∠BCE = 49°. Сумма углов равна 180°.
   • ∠CEB = 180° - ∠CBE - ∠BCE = 180° - 41° - 49° = 90°.

Ответ: ∠ABC = 82°, ∠CEB = 90°.