12. В ΔABC и ΔA₁B₁C₁ медианы BM и B₁M₁ равны, AB=A₁B₁, AM=A₁M₁. Докажите, что ΔABC = ΔA₁B₁C₁.

Решение:

Дано: ΔABC и ΔA₁B₁C₁, BM = B₁M₁, AB = A₁B₁, AM = A₁M₁.

Доказательство:

1. Так как BM и B₁M₁ — медианы, то M — середина AC, а M₁ — середина A₁C₁.
2. Следовательно, AC = 2 * AM и A₁C₁ = 2 * A₁M₁.
3. По условию AM = A₁M₁, значит, 2 * AM = 2 * A₁M₁. Отсюда AC = A₁C₁.
4. Теперь у нас есть два треугольника ΔABC и ΔA₁B₁C₁, у которых:
   AB = A₁B₁ (по условию)
   AC = A₁C₁ (доказано выше)
   BM = B₁M₁ (по условию)
5. Рассмотрим треугольники ΔABM и ΔA₁B₁M₁. У них равны три стороны: AB = A₁B₁, AM = A₁M₁, BM = B₁M₁. Следовательно, ΔABM = ΔA₁B₁M₁ по третьему признаку равенства треугольников.
6. Из равенства этих треугольников следует, что ∠BAM = ∠B₁A₁M₁ (или ∠BAC = ∠B₁A₁C₁).
7. Теперь рассмотрим ΔABC и ΔA₁B₁C₁:
   AB = A₁B₁ (по условию)
   AC = A₁C₁ (доказано выше)
   ∠BAC = ∠B₁A₁C₁ (доказано выше)
8. По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), ΔABC = ΔA₁B₁C₁.

Ответ: Доказано.