12. В ΔABC и ΔA₁B₁C₁ медианы BM и B₁M₁ равны. AB = A₁B₁, AM = A₁M₁. Докажите, что ΔABC = ΔA₁B₁C₁.

Решение:

1. Анализ условий:
   • Дано: \[ BM = B_1M_1 \], \[ AB = A_1B_1 \], \[ AM = A_1M_1 \].
   • \[ BM \] и \[ B_1M_1 \] — медианы. Медиана делит сторону пополам, поэтому \[ AC = 2  AM \] и \[ A_1C_1 = 2  A_1M_1 \].
   • Так как \[ AM = A_1M_1 \], то \[ 2  AM = 2  A_1M_1 \], что означает \[ AC = A_1C_1 \].
2. Доказательство равенства треугольников:
   • Рассмотрим \[ \triangle ABM \] и \[ \triangle A_1B_1M_1 \].
   • \[ AB = A_1B_1 \] (по условию).
   • \[ AM = A_1M_1 \] (по условию).
   • \[ BM = B_1M_1 \] (по условию).
   • Следовательно, \[ \triangle ABM = \triangle A_1B_1M_1 \] по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).
   • Из равенства этих треугольников следует, что \[ \angle BAM = \angle B_1A_1M_1 \], то есть \[ \angle BAC = \angle B_1A_1C_1 \].
   • Теперь рассмотрим \[ \triangle ABC \] и \[ \triangle A_1B_1C_1 \].
   • \[ AB = A_1B_1 \] (по условию).
   • \[ AC = A_1C_1 \] (доказано выше).
   • \[ \angle BAC = \angle B_1A_1C_1 \] (доказано выше).
   • Следовательно, \[ \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1 \] по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).