11. Задание 12 № 485973. а) Решите уравнение 2sin 2x = 4cos x − sin x + 1. б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку [π/2; 3π/2].

Преобразуем левую часть, используя формулу sin 2x = 2sin x cos x:

\(4\sin x\cos x=4\cos x-\sin x+1\).

Перенесём слагаемые и сгруппируем:

\(4\sin x\cos x-4\cos x+\sin x-1=0\),

\((4\cos x+1)(\sin x-1)=0\).

1. \(4\cos x+1=0\), поэтому \(\cos x=-\frac14\);
   \(x=\pm\arccos\left(-\frac14\right)+2\pi n,\ n\in\mathbb Z\).
2. \(\sin x-1=0\), поэтому \(\sin x=1\);
   \(x=\frac\pi2+2\pi n,\ n\in\mathbb Z\).

На отрезке \([\frac\pi2;\frac{3\pi}2]\) находятся корни \(x=\frac\pi2\) и \(x=\arccos\left(-\frac14\right)\).

Ответ: а) \(x=\pm\arccos\left(-\frac14\right)+2\pi n\) или \(x=\frac\pi2+2\pi n\), \(n\in\mathbb Z\); б) \(\frac\pi2;\ \arccos\left(-\frac14\right)\).