12. Задание 12 № 511379. а) Решите уравнение 9^(x²−x−5) + 6^(x²−x−4) − 180·4^(x²−x−7) = 0. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−√5; √3,5].

Обозначим \(u=x^2-x-5\). Тогда уравнение примет вид:

\(9^u+6^{u+1}-180\cdot4^{u-2}=0\).

Разделим на положительное число \(4^u\):

\(\left(\frac94\right)^u+6\left(\frac32\right)^u-\frac{180}{16}=0\).

Пусть \(t=\left(\frac32\right)^u\). Так как \(\left(\frac94\right)^u=t^2\), получаем:

\(t^2+6t-\frac{45}{4}=0\),

\(4t^2+24t-45=0\).

\(t=\frac{-24\pm36}{8}\), поэтому \(t=\frac32\) или \(t=-\frac{15}{2}\). Поскольку \(t>0\), остаётся \(t=\frac32\).

Следовательно, \(\left(\frac32\right)^u=\frac32\), откуда \(u=1\):

\(x^2-x-5=1\),

\(x^2-x-6=0\),

\((x-3)(x+2)=0\).

Корни: \(x=3\) и \(x=-2\).

На отрезке \([-\sqrt5;\sqrt{3,5}]\) находится только \(-2\).

Ответ: а) \(x=-2;\ 3\); б) \(x=-2\).