13. Задание 12 № 549170. а) Решите уравнение √(x³ + 4x² + 9) − 3 = x. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−9/2; 7/5].

Перенесём число 3 вправо:

\(\sqrt{x^3+4x^2+9}=x+3\).

Так как левая часть неотрицательна, необходимо условие \(x\ge -3\). Возведём обе части в квадрат:

\(x^3+4x^2+9=(x+3)^2=x^2+6x+9\).

\(x^3+3x^2-6x=0\),

\(x(x^2+3x-6)=0\).

Отсюда:

1. \(x=0\);
2. \(x^2+3x-6=0\), поэтому \(x=\frac{-3\pm\sqrt{33}}2\).

Корень \(\frac{-3-\sqrt{33}}2\approx-4,37\) не удовлетворяет условию \(x\ge-3\), поэтому он посторонний. Корни уравнения: \(x=0\) и \(x=\frac{-3+\sqrt{33}}2\).

Оба корня принадлежат отрезку \([-\frac92;\frac75]\).

Ответ: а) \(x=0;\ \frac{-3+\sqrt{33}}2\); б) \(x=0;\ \frac{-3+\sqrt{33}}2\).