14. Задание 12 № 563632. а) Решите уравнение 2sin³x − √2 cos 2x + sin x = −√2. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [3π/2; 3π].

Используем формулу \(\cos 2x=1-2\sin^2x\):

\(2\sin^3x-\sqrt2(1-2\sin^2x)+\sin x=-\sqrt2\).

После раскрытия скобок и сокращения:

\(2\sin^3x+2\sqrt2\sin^2x+\sin x=0\).

Вынесем \(\sin x\) за скобки:

\(\sin x(2\sin^2x+2\sqrt2\sin x+1)=0\).

Первый случай: \(\sin x=0\), откуда \(x=\pi n\), \(n\in\mathbb Z\).

Во втором случае:

\(2\sin^2x+2\sqrt2\sin x+1=0\).

Дискриминант равен нулю, поэтому \(\sin x=-\frac{\sqrt2}{2}\). Тогда \(x=\frac{5\pi}{4}+2\pi n\) или \(x=\frac{7\pi}{4}+2\pi n\).

На отрезке \([\frac{3\pi}{2};3\pi]\) получаем корни \(\frac{7\pi}{4}\), \(2\pi\), \(\frac{11\pi}{4}\) и \(3\pi\).

Ответ: а) \(x=\pi n\) или \(x=\frac{5\pi}{4}+2\pi n\), или \(x=\frac{7\pi}{4}+2\pi n\), \(n\in\mathbb Z\); б) \(\frac{7\pi}{4};\ 2\pi;\ \frac{11\pi}{4};\ 3\pi\).