110. Средняя линия трапеции равна 12 см, а периметр — 48 см. Докажите, что в данную трапецию можно вписать окружность.

Краткое пояснение:

Чтобы доказать, что в трапецию можно вписать окружность, необходимо показать, что сумма оснований равна сумме боковых сторон. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований, а периметр — сумме всех сторон.

Пошаговое решение:

1. Свойство средней линии: Средняя линия трапеции (m) равна полусумме ее оснований (a и c): \( m = \frac{a + c}{2} \).
2. Используем данные: Нам дано, что \(m = 12\) см. Следовательно, сумма оснований равна: \(a + c = 2 \cdot m = 2 \cdot 12 \text{ см} = 24 \text{ см}\).
3. Свойство периметра: Периметр трапеции (P) равен сумме всех ее сторон: \(P = a + c + b_1 + b_2\), где \(b_1\) и \(b_2\) — боковые стороны.
4. Используем данные: Нам дан периметр \(P = 48\) см.
5. Сравнение: Теперь сравним сумму оснований и сумму боковых сторон. Мы знаем, что \(a + c = 24\) см. Периметр равен \(P = (a + c) + (b_1 + b_2)\). Подставляем известные значения: \(48 \text{ см} = 24 \text{ см} + (b_1 + b_2)\).
6. Вычисление суммы боковых сторон: Отсюда находим сумму боковых сторон: \(b_1 + b_2 = 48 \text{ см} - 24 \text{ см} = 24 \text{ см}\).
7. Доказательство: Мы получили, что сумма оснований \(a + c = 24\) см, и сумма боковых сторон \(b_1 + b_2 = 24\) см. Так как \(a + c = b_1 + b_2\), то в данную трапецию можно вписать окружность.