112. Большая боковая сторона прямоугольной трапеции равна 14 см; а средняя линия этой трапеции равна 10 см. Найдите радиус окружности, вписанной в трапецию.

Краткая запись:

• Трапеция прямоугольная.
• Большая боковая сторона (b): 14 см.
• Средняя линия (m): 10 см.
• Найти: Радиус вписанной окружности (r) — ?

Пошаговое решение:

1. Свойство прямоугольной трапеции с вписанной окружностью: В прямоугольной трапеции, в которую можно вписать окружность, боковая сторона, перпендикулярная основаниям (т.е. высота), равна диаметру вписанной окружности. В данном случае, большая боковая сторона (14 см) является высотой.
2. Диаметр и радиус: Диаметр вписанной окружности (d) равен удвоенному радиусу: \(d = 2r\).
3. Высота и диаметр: Так как большая боковая сторона является высотой, то \(h = 14\) см. Следовательно, диаметр вписанной окружности равен высоте: \(d = h = 14\) см.
4. Вычисление радиуса: Теперь найдем радиус: \(r = \frac{d}{2} = \frac{14 \text{ см}}{2} = 7 \text{ см}\).
5. Проверка условия средней линии: Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: \(m = \frac{a + c}{2}\). Нам дано \(m = 10\) см, значит, \(a + c = 2 \cdot m = 2 \cdot 10 \text{ см} = 20 \text{ см}\).
6. Проверка условия вписанной окружности: В трапеции можно вписать окружность, если сумма оснований равна сумме боковых сторон: \(a + c = b_1 + b_2\). В прямоугольной трапеции одна боковая сторона является высотой, другая — наклонной. В нашем случае, высота \(h = 14\) см. Пусть основания \(a\) и \(c\). Тогда \(a + c = 20\) см. Сумма боковых сторон равна \(h + ext{наклонная сторона}\). Если в трапецию вписана окружность, то \(a+c = h + ext{наклонная сторона}\). Следовательно, \(20 \text{ см} = 14 \text{ см} + ext{наклонная сторона}\). Наклонная сторона = \(20 - 14 = 6\) см. Однако, мы имеем, что большая боковая сторона равна 14 см. Если эта сторона является высотой, то она перпендикулярна основаниям. Тогда другая боковая сторона будет наклонной. Пусть основания \(a\) и \(c\). Тогда \(a+c = 20\). В прямоугольной трапеции, где большая боковая сторона является высотой (14 см), другая боковая сторона (наклонная) будет иметь длину \(b_2\). По теореме Пифагора, если провести из вершины меньшего основания перпендикуляр к большему основанию, то \(b_2^2 = h^2 + (c-a)^2\). В нашем случае, \(h=14\). Чтобы вписать окружность, должно выполняться \(a+c = h+b_2\). То есть \(20 = 14 + b_2\), откуда \(b_2 = 6\) см.
7. Согласование данных: Теперь у нас есть: основания в сумме дают 20 см. Высота = 14 см. Наклонная боковая сторона = 6 см. Но по теореме Пифагора, \(b_2^2 = h^2 + (c-a)^2\). \(6^2 = 14^2 + (c-a)^2\). \(36 = 196 + (c-a)^2\). Это невозможно, так как \((c-a)^2\) не может быть отрицательным. Следовательно, большая боковая сторона, равная 14 см, является наклонной боковой стороной, а не высотой.
8. Переосмысление: В прямоугольной трапеции, в которую можно вписать окружность, высота равна сумме оснований минус наклонная боковая сторона. Нет, это неверно. Правило: в трапеции можно вписать окружность, если сумма противоположных сторон равны. В прямоугольной трапеции: \(a + c = h + b\), где \(h\) — высота, \(b\) — наклонная боковая сторона. Средняя линия \(m = \frac{a+c}{2} = 10\) см, значит \(a+c = 20\) см. Следовательно, \(h + b = 20\) см. Нам дано, что большая боковая сторона равна 14 см. В прямоугольной трапеции, большая боковая сторона — это либо высота, либо наклонная. Если бы высота была 14 см, то наклонная была бы 6 см, что противоречит теореме Пифагора, как показано выше. Значит, наклонная боковая сторона равна 14 см. Тогда высота \(h = 20 - 14 = 6\) см.
9. Расчет радиуса: В прямоугольной трапеции, в которую вписана окружность, радиус равен половине высоты. \(r = \frac{h}{2} = \frac{6 \text{ см}}{2} = 3 \text{ см}\).
10. Проверка: Высота \(h=6\) см, наклонная боковая сторона \(b=14\) см. Сумма оснований \(a+c=20\) см. Условие \(a+c = h+b\) выполняется: \(20 = 6+14\). Пусть \(a < c\). Тогда \(c-a = ext{разность оснований}\). По теореме Пифагора: \(b^2 = h^2 + (c-a)^2\). \(14^2 = 6^2 + (c-a)^2\). \(196 = 36 + (c-a)^2\). \((c-a)^2 = 196 - 36 = 160\). \(c-a = ext{sqrt}(160) = 4 ext{sqrt}(10)\). Решая систему: \(a+c = 20\) и \(c-a = 4 ext{sqrt}(10)\), получаем \(2c = 20 + 4 ext{sqrt}(10)\) => \(c = 10 + 2 ext{sqrt}(10)\) и \(2a = 20 - 4 ext{sqrt}(10)\) => \(a = 10 - 2 ext{sqrt}(10)\). Таким образом, задача имеет решение с найденным радиусом.

Ответ: Радиус вписанной окружности равен 3 см.