111. Из точки A к окружности с центром O проведены касательная AM и секущая AC, проходящая через центр и пересекающая окружность в точке B, причём AB < AC. Найдите величину угла ACM, если ∠MAC = 42°. Ответ дайте в градусах.

Так как радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, то ∠OMA = 90°.

Угол между прямой AC и касательной AM равен 42°, поэтому центральный угол ∠MOC равен 90° + 42° = 132°.

Треугольник MOC равнобедренный: OM = OC. Следовательно, его углы при основании равны: \(\angle OCM = (180° - 132°)/2 = 24°\).

Точки A, O и C лежат на одной прямой, причём лучи CA и CO совпадают. Поэтому \(\angle ACM = \angle OCM\).

Ответ: 24°.