1155. При каких значениях b областью определения функции является множество всех чисел, если: a) y = 2 / (x² + 2x + b); б) y = 2x / (|x - 1| - b)

Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента (x). Чтобы областью определения было множество всех чисел, знаменатель дроби никогда не должен обращаться в ноль.

• a) y = 2 / (x² + 2x + b)

Знаменатель x² + 2x + b никогда не должен быть равен нулю. Это квадратный трехчлен. Он не равен нулю, если у соответствующего квадратного уравнения x² + 2x + b = 0 нет действительных корней. Это условие выполняется, когда дискриминант (D) меньше нуля.

\[ D = b^2 - 4ac \]

В нашем случае a = 1, b = 2, c = b (коэффициенты квадратного трехчлена). Ошибка в предыдущей записи, здесь a = 1, коэффициент при x — это 2, а свободный член — это b.

Следовательно, дискриминант равен:

\[ D = 2^2 - 4 · 1 · b = 4 - 4b \]

Чтобы действительных корней не было, нужно, чтобы D < 0:

\[ 4 - 4b < 0 \]

\[ 4 < 4b \]

\[ 1 < b \]

Таким образом, при b > 1 знаменатель никогда не будет равен нулю, и областью определения будет множество всех действительных чисел.

• б) y = 2x / (|x - 1| - b)

Знаменатель |x - 1| - b никогда не должен быть равен нулю. Это значит, что |x - 1| ≠ b.

Если b < 0, то |x - 1| (которое всегда ≥ 0) никогда не будет равно отрицательному числу b. В этом случае знаменатель никогда не равен нулю.

Если b = 0, то |x - 1| ≠ 0, что означает x ≠ 1. В этом случае областью определения не будут все числа (исключается x=1).

Если b > 0, то уравнение |x - 1| = b имеет два решения: x - 1 = b (т.е. x = 1 + b) и x - 1 = -b (т.е. x = 1 - b). В этом случае областью определения не будут все числа (исключаются два значения x).

Следовательно, чтобы областью определения было множество всех чисел, необходимо, чтобы b < 0.

Ответ: a) b > 1; б) b < 0