1156. Найдите все значения b, при которых областью определения функции являются все числа, кроме x = 1, если: a) f(x) = (x² - 2) / (x² - 2x + b); б) h(x) = (x² + |x|) / (|x - 1| - b)

Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента (x). Если областью определения являются все числа, кроме одного значения (x = 1), это означает, что знаменатель дроби обращается в ноль только при x = 1.

• a) f(x) = (x² - 2) / (x² - 2x + b)

Знаменатель x² - 2x + b должен быть равен нулю только при x = 1. Это значит, что квадратное уравнение x² - 2x + b = 0 должно иметь один корень, равный 1.

Для квадратного уравнения, чтобы оно имело один корень, дискриминант должен быть равен нулю (D = 0). В нашем случае a = 1, b = -2, c = b.

\[ D = (-2)^2 - 4 · 1 · b = 4 - 4b \]

Приравниваем дискриминант к нулю:

\[ 4 - 4b = 0 \]

\[ 4b = 4 \]

\[ b = 1 \]

Теперь проверим, действительно ли при b = 1 единственным корнем уравнения x² - 2x + 1 = 0 является x = 1. Это уравнение является полным квадратом:

\[ (x - 1)^2 = 0 \]

Единственный корень действительно x = 1.

• б) h(x) = (x² + |x|) / (|x - 1| - b)

Знаменатель |x - 1| - b должен быть равен нулю только при x = 1. То есть, |x - 1| = b должно иметь единственное решение x = 1.

Рассмотрим уравнение |x - 1| = b:

Если b < 0, у уравнения нет решений.

Если b = 0, то |x - 1| = 0, что дает единственное решение x = 1. Это нам подходит.

Если b > 0, то уравнение |x - 1| = b имеет два решения: x - 1 = b (т.е. x = 1 + b) и x - 1 = -b (т.е. x = 1 - b). Чтобы единственным решением было x = 1, необходимо, чтобы оба эти решения совпадали с 1. Это возможно только если b = 0, что мы уже рассмотрели. Если b > 0, то 1 + b ≠ 1 и 1 - b ≠ 1 (если b ≠ 0), то есть появляются другие корни, кроме x=1, или единственным корнем не будет x=1.

Таким образом, единственным случаем, когда уравнение |x - 1| = b имеет ровно одно решение x = 1, является случай, когда b = 0.

Ответ: a) b = 1; б) b = 0