1196. Докажите, что $$\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n$$ при любом целом $$n$$, $$a \neq 0$$ и $$b \neq 0$$.

Доказательство:

Рассмотрим левую часть равенства:

\[ \left(\frac{a}{b}\right)^{-n} \]

Используя свойство степени с отрицательным показателем \( x^{-n} = \frac{1}{x^n} \), получаем:

\[ \left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \frac{1}{\left(\frac{a}{b}\right)^n} \]

Теперь используем свойство степени дроби \( \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} \):

\[ \frac{1}{\left(\frac{a}{b}\right)^n} = \frac{1}{\frac{a^n}{b^n}} \]

Деление на дробь равно умножению на обратную дробь:

\[ \frac{1}{\frac{a^n}{b^n}} = 1 \cdot \frac{b^n}{a^n} = \frac{b^n}{a^n} \]

Используя свойство степени дроби, получаем:

\[ \frac{b^n}{a^n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n \]

Таким образом, мы доказали, что \( \left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n \).

Доказано.