1198. Представьте выражение в виде степени с основанием 3 и найдите его значение: a) $$27 \cdot 3^{-4}$$; б) $$(3^{-1})^5 \cdot 81^2$$; в) $$9^{-2} : 3^{-6}$$; г) $$81^3 : (9^{-2})^{-3}$$.

Решение:

Чтобы представить выражения в виде степени с основанием 3, представим все множители и делители как степени числа 3 ($$27 = 3^3$$, $$81 = 3^4$$, $$9 = 3^2$$). Затем используем свойства степеней.

1. a) $$27 \cdot 3^{-4} = 3^3 \cdot 3^{-4} = 3^{3+(-4)} = 3^{-1} = \frac{1}{3}$$


2. б) $$(3^{-1})^5 \cdot 81^2 = 3^{-1 \cdot 5} \cdot (3^4)^2 = 3^{-5} \cdot 3^{4 \cdot 2} = 3^{-5} \cdot 3^8 = 3^{-5+8} = 3^3 = 27$$


3. в) $$9^{-2} : 3^{-6} = (3^2)^{-2} : 3^{-6} = 3^{2 \cdot (-2)} : 3^{-6} = 3^{-4} : 3^{-6} = 3^{-4-(-6)} = 3^{-4+6} = 3^2 = 9$$


4. г) $$81^3 : (9^{-2})^{-3} = (3^4)^3 : ( (3^2)^{-2} )^{-3} = 3^{4 \cdot 3} : ( 3^{2 \cdot (-2)} )^{-3} = 3^{12} : (3^{-4})^{-3} = 3^{12} : 3^{-4 \cdot (-3)} = 3^{12} : 3^{12} = 3^{12-12} = 3^0 = 1$$

Ответ: а) $$\frac{1}{3}$$; б) 27; в) 9; г) 1.