12. 1) Назовите плоскости, проходящие через точку A₁ и прямую B₁D₁; 2) укажите две прямые, принадлежащие каждой названной плоскости; 3) постройте точку пересечения прямой BD₁ с плоскостью A₁D₁.

1) Прямая B₁D₁ лежит в плоскости грани A₁B₁C₁D₁, а точка A₁ также принадлежит этой плоскости. Точка A₁ не лежит на B₁D₁, поэтому единственная искомая плоскость — A₁B₁C₁D₁.

2) Например, в этой плоскости лежат прямые A₁B₁ и B₁C₁.

3) Прямая BD₁ лежит в диагональной плоскости ADD₁B₁. Плоскости ADD₁B₁ и A₁D₁ пересекаются по прямой A₁D₁; диагональ BD₁ грани ABB₁A₁ пересекает эту прямую в центре грани. Обозначим точку пересечения O.

В треугольнике ABB₁ точка O — пересечение диагоналей прямоугольника ABB₁A₁, поэтому она является серединой A₁B и одновременно BD₁.

Ответ: плоскость A₁B₁C₁D₁; например, прямые A₁B₁ и B₁C₁; точка пересечения — середина диагонали BD₁.