13. 1) Постройте плоскость, проходящую через точку N и прямую AC; 2) прямую её пересечения с плоскостью B₁C₁D₁; 3) постройте точку пересечения прямой MN с плоскостью ABCD.

1) Через точку N и прямую AC проходит единственная плоскость: N не лежит на AC. Обозначим её плоскостью (ACN).

2) Точки A и C принадлежат плоскостям (ACN) и ABCD, поэтому их пересечение — прямая AC. Однако в условии указана плоскость B₁C₁D₁ — верхняя грань параллелепипеда. Плоскость (ACN) пересекает её по прямой, проходящей через C и точку пересечения этой плоскости с прямой, проведённой через N параллельно вертикальным рёбрам. На чертеже N лежит на AA₁; эта вертикаль пересекает верхнюю грань в A₁. Следовательно, искомая прямая — A₁C.

3) Точки M и N расположены на ребре AA₁, поэтому прямая MN совпадает с AA₁. Она пересекает плоскость ABCD в точке A.

Ответ: плоскость (ACN); прямая пересечения с B₁C₁D₁ — A₁C; MN ∩ (ABCD) = A.