12.19. На стороне BC треугольника ABC отметили точку M так, что BM : MC = 3 : 10. В каком отношении отрезок AM делит медиану BK треугольника ABC?

Обозначим через P точку пересечения AM и медианы BK. Так как BK — медиана, K — середина AC.

Пусть t — доля медианы от B до P: BP = t·BK. В векторных координатах, считая B началом отсчёта, M = (3/13)C, K = (A + C)/2, поэтому P на BK имеет координаты t(A + C)/2.

Точка P лежит также на AM. Запишем её как A + s(M − A). Сравнение коэффициентов при A и C даёт t/2 = 1 − s и t/2 = 3s/13. Отсюда s = 1 − t/2 и 8t = 3, то есть t = 3/8.

Значит, BP составляет 3/8 медианы, а PK — оставшиеся 5/8.

Ответ: BP : PK = 3 : 5.