12.21. В треугольнике ABC отрезок AK (точка K принадлежит стороне BC) делит медиану BM в отношении 3 : 4, считая от вершины B. В каком отношении точка K делит сторону BC?

Обозначим через D точку пересечения AK и BM. Условие означает BD : DM = 3 : 4, поэтому BD/BM = 3/7. Точка M — середина AC.

Возьмём B за начало координат и обозначим радиус-векторы A и C буквами A и C. Тогда M = (A + C)/2, а D = (3/7)M = 3(A + C)/14.

Точка D лежит на прямой AK. Запишем её как A + λ(D − A). Коэффициент при A должен стать равным нулю, поскольку D находится на прямой BC: 1 − 11λ/14 = 0, откуда λ = 14/11. Тогда коэффициент при C равен 3λ/14 = 3/11. Значит, K находится на доле 3/11 пути от B к C.

Следовательно, BK : KC = 3 : 8.

Ответ: BK : KC = 3 : 8.