12.20. На стороне AB треугольника ABC отметили точку M так, что AM : MB = 4 : 3. В каком отношении медиана BK: 1) делит отрезок CM; 2) делится отрезком CM?

Обозначим через P точку пересечения медианы BK и отрезка CM. Поскольку AM : MB = 4 : 3, точка M делит AB так, что M = (3/7)A + (4/7)B. Также K — середина AC.

Пусть P находится на доле t пути от B к K, а на доле s пути от C к M. Тогда по координатам относительно вершин A, B, C:

На BK: P = t(A + C)/2. На CM: P = (3s/7)A + (1 − s)C.

Приравнивая коэффициенты, получаем t/2 = 3s/7 и t/2 = 1 − s. Следовательно, s = 7/10, t = 3/5.

1) s = CP/CM = 7/10, поэтому CP : PM = 7 : 3.

2) t = BP/BK = 3/5, поэтому BP : PK = 3 : 2.

Ответ: 1) CP : PM = 7 : 3; 2) BP : PK = 3 : 2.