12.6) cos 2z =-9 cos z +4.

Решение:

1. Используем формулу косинуса двойного угла: \( \cos 2z = 2\cos^2 z - 1 \).
2. Подставляем в уравнение: \( 2\cos^2 z - 1 = -9\cos z + 4 \).
3. Переносим все члены в одну сторону: \( 2\cos^2 z + 9\cos z - 5 = 0 \).
4. Введем замену: \( y = \cos z \). Получаем квадратное уравнение: \( 2y^2 + 9y - 5 = 0 \).
5. Найдем дискриминант: \( D = 9^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 81 + 40 = 121 \).
6. Найдем корни уравнения: \( y_1 = \frac{-9 + \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{-9 + 11}{4} = \frac{2}{4} = 0.5 \) и \( y_2 = \frac{-9 - \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{-9 - 11}{4} = \frac{-20}{4} = -5 \).
7. Так как \( \cos z \) не может быть меньше -1 или больше 1, корень \( y_2 = -5 \) не подходит.
8. Решаем \( \cos z = 0.5 \).
9. Общее решение: \( z = \pm \arccos(0.5) + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).
10. \( z = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( z = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).