6) (3 cos y + 7 sin y)² = 12 + 40 sin²y.

Решение:

1. Раскроем квадрат в левой части: \( (3\cos y + 7\sin y)^2 = 9\cos^2 y + 42\sin y \cos y + 49\sin^2 y \).
2. Подставим в уравнение: \( 9\cos^2 y + 42\sin y \cos y + 49\sin^2 y = 12 + 40\sin^2 y \).
3. Используем основное тригонометрическое тождество \( \cos^2 y = 1 - \sin^2 y \) и формулу \( \sin 2y = 2\sin y \cos y \), то есть \( \sin y \cos y = \frac{1}{2}\sin 2y \).
4. Перепишем уравнение: \( 9(1-\sin^2 y) + 21\sin 2y + 49\sin^2 y = 12 + 40\sin^2 y \).
5. Упрощаем: \( 9 - 9\sin^2 y + 21\sin 2y + 49\sin^2 y = 12 + 40\sin^2 y \).
6. Переносим все члены в одну сторону: \( 9 + 21\sin 2y + 40\sin^2 y - 40\sin^2 y - 9\sin^2 y - 12 = 0 \).
7. Упрощаем: \( 21\sin 2y - 3 - 9\sin^2 y = 0 \).
8. Используем формулу \( \sin^2 y = \frac{1 - \cos 2y}{2} \).
9. \( 21\sin 2y - 3 - 9\left(\frac{1 - \cos 2y}{2}\right) = 0 \).
10. Умножим всё на 2: \( 42\sin 2y - 6 - 9(1 - \cos 2y) = 0 \).
11. \( 42\sin 2y - 6 - 9 + 9\cos 2y = 0 \).
12. \( 42\sin 2y + 9\cos 2y - 15 = 0 \).
13. Разделим на 3: \( 14\sin 2y + 3\cos 2y - 5 = 0 \).
14. Представим в виде \( R\sin(2y + \alpha) \). \( R = \sqrt{14^2 + 3^2} = \sqrt{196+9} = \sqrt{205} \).
15. \( \sqrt{205}\sin(2y + \alpha) = 5 \), где \( \cos \alpha = \frac{14}{\sqrt{205}}, \sin \alpha = \frac{3}{\sqrt{205}} \).
16. \( \sin(2y + \alpha) = \frac{5}{\sqrt{205}} = \frac{5\sqrt{205}}{205} = \frac{\sqrt{205}}{41} \).
17. \( 2y + \alpha = \arcsin\left(\frac{\sqrt{205}}{41}\right) + 2\pi k \) или \( 2y + \alpha = \pi - \arcsin\left(\frac{\sqrt{205}}{41}\right) + 2\pi k \).
18. \( 2y = \arcsin\left(\frac{\sqrt{205}}{41}\right) - \alpha + 2\pi k \) или \( 2y = \pi - \arcsin\left(\frac{\sqrt{205}}{41}\right) - \alpha + 2\pi k \).
19. \( y = \frac{1}{2}\left(\arcsin\left(\frac{\sqrt{205}}{41}\right) - \alpha\right) + \pi k \) или \( y = \frac{1}{2}\left(\pi - \arcsin\left(\frac{\sqrt{205}}{41}\right) - \alpha\right) + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( y = \frac{1}{2}\left(\arcsin\left(\frac{\sqrt{205}}{41}\right) - \alpha\right) + \pi k \) или \( y = \frac{1}{2}\left(\pi - \arcsin\left(\frac{\sqrt{205}}{41}\right) - \alpha\right) + \pi k \), где \( \alpha = \arctan(\frac{3}{14}) \) и \( k \in \mathbb{Z} \).