12. а) Решите уравнение: 2 cos³ x + √3 cos² x + 2 cos x + √3 = 0. б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−2π; −π/2].

а) Сгруппируем слагаемые:

\(2\cos^3x+\sqrt3\cos^2x+2\cos x+\sqrt3=(\cos^2x+1)(2\cos x+\sqrt3)=0.\)

Так как \(\cos^2x+1>0\), получаем \(2\cos x+\sqrt3=0\), то есть \(\cos x=-\frac{\sqrt3}{2}\).

Отсюда \(x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k\) или \(x=\frac{7\pi}{6}+2\pi k\), где \(k\in\mathbb Z\).

б) На отрезке \([-2\pi; -\frac{\pi}{2}]\) этим значениям соответствуют \(-\frac{7\pi}{6}\) и \(-\frac{5\pi}{6}\).

Ответ: а) \(x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k\) или \(x=\frac{7\pi}{6}+2\pi k\), \(k\in\mathbb Z\); б) \(-\frac{7\pi}{6},-\frac{5\pi}{6}\).