13. Основание пирамиды DABC — треугольник ABC с прямым углом при вершине C. Высота пирамиды проходит через точку B. Точки M и N — середины рёбер AD и BC соответственно. а) Докажите, что MN является биссектрисой угла BMC. б) Найдите угол между прямыми BD и MN, если AC = 20, BD = 8√2.

а) Так как высота пирамиды проходит через B, \(BD\perp(ABC)\), а значит, \(BD\perp BC\) и \(BD\perp AC\). Поскольку \(AC\perp BC\), получаем координатное представление: \(C=(0,0,0)\), \(A=(20,0,0)\), \(B=(0,b,0)\), \(D=(0,b,h)\).

Так как M и N — середины соответствующих рёбер, \(M=(10,\frac b2,\frac h2)\), \(N=(0,\frac b2,0)\). Тогда векторы \(\overrightarrow{MB}=(-10,\frac b2,-\frac h2)\), \(\overrightarrow{MC}=(-10,-\frac b2,-\frac h2)\), а \(\overrightarrow{MN}=(-10,0,-\frac h2)\).

Векторы \(\overrightarrow{MB}\) и \(\overrightarrow{MC}\) имеют одинаковую длину, а \(\overrightarrow{MN}\) направлен вдоль их суммы. Следовательно, MN делит угол BMC пополам.

б) В прямоугольном треугольнике MNB угол между MN и BD можно найти по проекциям: горизонтальная составляющая MN равна \(AC/2=10\), а составляющая вдоль BD равна \(BD/2=4\sqrt2\). Поэтому

\(\tan\theta=\frac{10}{4\sqrt2}=\frac{5\sqrt2}{4}.\)

Следовательно, \(\theta=\arctan\frac{5\sqrt2}{4}\approx60.5^\circ\).

Ответ: а) MN — биссектриса угла BMC; б) \(\arctan\frac{5\sqrt2}{4}\approx60.5^\circ\).