14. Решите неравенство: x² · log₅₁₂(4 − x) ≥ log₂(x² − 8x + 16).

ОДЗ: \(4-x>0\), поэтому \(x<4\); также аргумент второго логарифма \((x-4)^2\) положителен при \(x\ne4\), что уже следует из первого условия.

Поскольку \(512=2^9\), имеем \(\log_{512}(4-x)=\frac19\log_2(4-x)\), а \(\log_2(x^2-8x+16)=2\log_2(4-x)\). Неравенство равносильно

\(\left(\frac{x^2}{9}-2\right)\log_2(4-x)\ge0.\)

Нули множителей: \(x=\pm3\sqrt2\) и \(x=3\). На ОДЗ логарифм положителен при \(x<3\) и отрицателен при \(3<x<4\). Первый множитель положителен при \(|x|>3\sqrt2\) и отрицателен при \(|x|<3\sqrt2\). По знакам произведение неотрицательно при \(x\le-3\sqrt2\) и \(3\le x<4\).

Ответ: \((−\infty;−3\sqrt2]\cup[3;4)\).