15. Вклад планируется открыть на четыре года. Первоначальный вклад составляет целое число миллионов рублей. В конце каждого года вклад увеличивается на 10% по сравнению с его размером в начале года, а в начале третьего и четвёртого годов вклад ежегодно пополняется на 3 млн рублей. Найдите наименьший размер первоначального вклада, при котором через четыре года вклад будет больше 20 млн рублей.

Пусть первоначальный вклад равен \(P\) млн рублей. Проценты начисляются в конце каждого года; пополнения в начале третьего и четвёртого годов составляют по 3 млн рублей.

1. Первоначальный вклад за четыре года увеличится до \(1.1^4P\).
2. Пополнение в начале третьего года принесёт к концу четвёртого года \(3\cdot1.1^2\) млн рублей.
3. Пополнение в начале четвёртого года принесёт \(3\cdot1.1\) млн рублей.
4. Требуемое условие: \(1.1^4P+3\cdot1.1^2+3\cdot1.1>20\). Отсюда \(P>\frac{20-3(1.21+1.1)}{1.1^4}\approx8.925\).

Поскольку первоначальный вклад должен быть целым числом миллионов, наименьшее подходящее значение — 9 млн рублей. Проверка: через четыре года получится \(9\cdot1.1^4+3\cdot1.1^2+3\cdot1.1=20.1069\) млн рублей, что больше 20 млн.

Ответ: 9 млн рублей.