№ 12. ABCD — четырёхугольник. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O; AO = OC, BO = OD. CD = 10, ∠CAD = 42°, ∠CDB = 48°. Найти BC.

Так как диагонали делятся точкой O пополам, ABCD — параллелограмм. Следовательно, \(BC=AD\).

В параллелограмме \(AB\parallel CD\). Поэтому угол между AB и DB равен \(48^\circ\). Угол между AD и AB равен:

\[42^\circ+48^\circ=90^\circ.\]

Значит, ABCD — прямоугольник, а \(AD\perp CD\). В прямоугольном треугольнике ACD:

\[\tan42^\circ=\frac{CD}{AD}.\]

Подставим \(CD=10\):

\[AD=\frac{10}{\tan42^\circ}.\]

Так как \(BC=AD\), получаем:

\[BC=\frac{10}{\tan42^\circ}\approx11.1.\]

Ответ: \(BC=\dfrac{10}{\tan42^\circ}\approx11.1\).