№ 12. ABCD — четырёхугольник. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O; отметки показывают, что AO = OC и BO = OD. ∠BAC = 42°, ∠BDC = 48°, CD = 10. Найдите угол между диагоналями и сторону BC.

Из AO = OC и BO = OD следует, что диагонали четырёхугольника делятся пополам. Значит, ABCD — параллелограмм: его противоположные стороны равны, а AB ∥ CD и BC ∥ AD.

В треугольнике AOD углы при A и D равны соответственно 42° и 48°: ∠DAO = ∠BAC, а ∠ADO = ∠BDC. Тогда

∠AOD = 180° − 42° − 48° = 90°.

Угол между диагоналями равен 90°. Поскольку противоположные стороны параллелограмма равны, BC = AD = CD = 10.

Ответ: угол между диагоналями — 90°, BC = 10.