№ 12. ABCD — четырёхугольник. На диагонали AC отмечено AO = OC, а на диагонали BD — BO = OD. ∠BAC = 42°, ∠BDC = 48°, CD = 10. Найдите отмеченные BC и ∠AOB.

Так как диагонали делятся точкой O пополам, ABCD — параллелограмм. Следовательно, AB ∥ CD.

Из параллельности AB и CD следует, что угол между AC и CD равен ∠BAC = 42°. Вместе с ∠BDC = 48° это даёт 42° + 48° = 90°, поэтому диагонали AC и BD перпендикулярны и ∠AOB = 90°.

Параллелограмм с перпендикулярными диагоналями является ромбом. Все его стороны равны, поэтому BC = CD = 10.

Ответ: BC = 10, ∠AOB = 90°.