12. Дано: ABCD — ромб, AB = 2, ∠BAD = 60°, S_AB₁C = √6. Найдите AA₁.

Обозначим h = AA₁. Возьмём координаты A = (0, 0, 0), B = (1, √3, 0), D = (2, 0, 0), C = (3, √3, 0), B₁ = (1, √3, h). Тогда векторы AC = (3, √3, 0) и AB₁ = (1, √3, h).

Площадь треугольника AB₁C равна половине модуля векторного произведения этих векторов. Имеем AC × AB₁ = (√3h, −3h, 2√3), поэтому:

S_AB₁C = ½√(3h² + 9h² + 12) = √3√(h² + 1).

По условию √3√(h² + 1) = √6, откуда h² + 1 = 2. Так как длина положительна, h = 1.

Ответ: AA₁ = 1.