12. Дано: KL = KP, луч KO делит угол LKP пополам, точки K, O, M лежат на одной прямой. Доказать: ΔLOM = ΔPOM.

Сначала докажем равенство треугольников KLO и KPO.

1. По условию \(KL = KP\).
2. Луч \(KO\) является биссектрисой угла \(LKP\), поэтому \(\angle LKO = \angle OKP\).
3. Сторона \(KO\) является общей.
4. Следовательно, \(\triangle KLO = \triangle KPO\) по двум сторонам и углу между ними.

Из равенства треугольников следует, что \(LO = PO\) и \(\angle LOK = \angle KOP\).

1. Так как точки K, O и M лежат на одной прямой, лучи \(OK\) и \(OM\) — противоположные.
2. Поэтому смежные углы \(\angle LOK\) и \(\angle LOM\), а также \(\angle KOP\) и \(\angle POM\) дополняют друг друга до \(180^\circ\).
3. Из равенства \(\angle LOK = \angle KOP\) следует \(\angle LOM = \angle POM\).
4. В треугольниках LOM и POM сторона \(OM\) общая, \(LO = PO\), а углы между этими сторонами равны.
5. Следовательно, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними.

Ответ: \(\triangle LOM = \triangle POM\).