12. Доказать, что при каждом натуральном n число \(\frac{n^4}{24}+\frac{n^3}{4}+\frac{11n^2}{24}+\frac{n}{4}\) является натуральным.

Приведём слагаемые к общему знаменателю:

\[\frac{n^4}{24}+\frac{n^3}{4}+\frac{11n^2}{24}+\frac{n}{4}=\frac{n^4+6n^3+11n^2+6n}{24}.\]

Числитель раскладывается на множители:

\[n^4+6n^3+11n^2+6n=n(n+1)(n+2)(n+3).\]

Из четырёх последовательных целых чисел одно делится на 4, а хотя бы одно — на 3. Поэтому их произведение делится на 12; кроме того, среди них есть два чётных числа, так что произведение делится на 24. Следовательно, выражение — целое положительное число.

Ответ: число натуральное при каждом натуральном n.