15. Методом математической индукции доказать справедливость неравенств для всех натуральных n>1: 1) \(\frac12\cdot\frac34\cdot\frac56\cdots\frac{2n-1}{2n}\le\frac1{\sqrt{3n+1}}\); 2) \(\frac1{n+1}+\frac1{n+2}+\cdots+\frac1{2n}>\frac{13}{24}\).

1) Обозначим произведение через \(P_n=\prod_{k=1}^{n}\frac{2k-1}{2k}\). База: при \(n=1\), \(P_1=\frac12=\frac1{\sqrt4}\).

Переход: пусть \(P_n\le\frac1{\sqrt{3n+1}}\). Тогда \[P_{n+1}=P_n\frac{2n+1}{2n+2}\le\frac{2n+1}{(2n+2)\sqrt{3n+1}}.\] Достаточно проверить \((2n+1)^2(3n+4)\le(2n+2)^2(3n+1)\). Разность правой и левой частей равна \(n(4n^2+9n+2)\ge0\). Значит, \(P_{n+1}\le\frac1{\sqrt{3n+4}}\), что завершает переход.

2) Обозначим сумму через \(S_n=\sum_{k=n+1}^{2n}\frac1k\). База при \(n=2\): \(S_2=\frac13+\frac14=\frac7{12}>\frac{13}{24}\).

Переход: при \(n\ge2\) из предположения \(S_n>\frac{13}{24}\) получаем \[S_{n+1}=S_n-\frac1{n+1}+\frac1{2n+1}+\frac1{2n+2}.\] При этом \(\frac1{2n+1}+\frac1{2n+2}-\frac1{n+1}=\frac{1}{(2n+1)(2n+2)}>0\). Следовательно, \(S_{n+1}>S_n>\frac{13}{24}\). Оба неравенства доказаны для всех требуемых натуральных \(n>1\).