14. Найти все натуральные n, для которых справедливо неравенство \(5^n>5n^3+2\).

При \(n=1,2,3\) неравенство неверно: \(5<7\), \(25<42\), \(125<137\). При \(n=4\): \(625>322\).

Докажем индукцией, что неравенство верно для всех \(n\ge4\). База уже проверена. Пусть \(5^n>5n^3+2\), где \(n\ge4\). Тогда \(5^{n+1}>25n^3+10\). При \(n\ge4\) выполняется \(25n^3+10>5(n+1)^3+2\): разность равна \(5n^3-15n^2-15n+3\), положительна при \(n=4\) и возрастает при целых \(n\ge4\). Следовательно, \(5^{n+1}>5(n+1)^3+2\).

Ответ: все натуральные \(n\ge4\).