13. Найти все натуральные n, для которых справедливо неравенство $2^n>n^2$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 13. Найти все натуральные n, для которых справедливо неравенство $2^n>n^2$.$ Фото задания

13. Найти все натуральные n, для которых справедливо неравенство $2^n>n^2$.

Accepted Answer

Проверим первые значения: при $n=1$ имеем $2>1$, а при $n=2,3,4$ неравенство неверно: соответственно $4=4$, $8<9$, $16=16$.

Докажем, что неравенство верно для всех $n\ge5$, методом индукции. База: $2^5=32>25=5^2$.

Переход: пусть при некотором $n\ge5$ выполнено $2^n>n^2$. Тогда $2^{n+1}>2n^2$. При $n\ge3$, $2n^2\ge(n+1)^2$, поскольку $2n^2-(n+1)^2=n^2-2n-1>0$ для целых $n\ge3$. Значит, $2^{n+1}>(n+1)^2$.

Ответ: $n=1$ или любое натуральное $n\ge5$.

13. Найти все натуральные n, для которых справедливо неравенство \(2^n>n^2\).

Ответ: