12. Доказать: PE⋅PF = PM⋅PK.

Решение:

1. Рассмотрим треугольники ΔPEM и ΔPKF.
2. Угол P — общий для обоих треугольников.
3. Угол PEM и угол PKF — вписанные углы, опирающиеся на дугу MF. Следовательно, ∠PEM = ∠PKF.
4. По признаку подобия треугольников по двум углам, ΔPEM ~ ΔPKF.
5. Из подобия треугольников следует отношение сторон: PE/PK = PM/PF.
6. Перемножив крест-накрест, получаем: PE⋅PF = PM⋅PK.

Ответ: Доказано.