12. Докажите неравенство: а) 6a(a + 1) < (3a + 1)(2a + 1) + a; б) (2p − 1)(2p + 1) + 3(p + 1) > (4p + 3)p.

а)

Раскроем скобки в правой части:

(3a + 1)(2a + 1) + a = 6a² + 5a + 1 + a = 6a² + 6a + 1.

Левая часть равна 6a(a + 1) = 6a² + 6a. Поэтому неравенство принимает вид 6a² + 6a < 6a² + 6a + 1, что верно, поскольку 0 < 1.

б)

Раскроем скобки:

(2p − 1)(2p + 1) + 3(p + 1) = 4p² − 1 + 3p + 3 = 4p² + 3p + 2.

Правая часть равна (4p + 3)p = 4p² + 3p. Получаем 4p² + 3p + 2 > 4p² + 3p, что верно, поскольку 2 > 0.