13. а) Разность корней уравнения x² − 8x + q = 0 равна 16. Найдите q. б) Сумма квадратов корней уравнения x² − 7x + q = 0 равна 29. Найдите q.

а) Обозначим корни уравнения через x₁ и x₂. По теореме Виета x₁ + x₂ = 8, а по условию (x₁ − x₂)² = 16² = 256.

Используем равенство (x₁ − x₂)² = (x₁ + x₂)² − 4x₁x₂. По теореме Виета x₁x₂ = q, поэтому:

256 = 8² − 4q;

256 = 64 − 4q;

q = −48.

Проверка: при q = −48 уравнение имеет корни 12 и −4; их разность равна 16.

б) По теореме Виета x₁ + x₂ = 7 и x₁x₂ = q. Тогда:

x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² − 2x₁x₂ = 49 − 2q.

По условию 49 − 2q = 29, откуда 2q = 20 и q = 10.

Ответ: а) q = −48; б) q = 10.