12. Геометрическая прогрессия задана условиями: b₁=-7, bn+1=2bn. Найдите сумму первых шести её членов.

Привет! Давай разберемся с этой задачей про геометрическую прогрессию. Помнишь, что в ней каждый следующий член получается умножением на постоянный множитель (знаменатель)?

Дано:

• Первый член прогрессии: \(b_1 = -7\)
• Формула для нахождения следующего члена: \(b_{n+1} = 2b_n\)
• Нужно найти сумму первых шести членов: \(S_6\)

Решение:

1. Определим знаменатель прогрессии (q).
   Из формулы \(b_{n+1} = 2b_n\) видно, что каждый следующий член получается умножением предыдущего на 2. Значит, знаменатель прогрессии \(q = 2\).
2. Найдем первые шесть членов прогрессии:
   \(b_1 = -7\)
   \(b_2 = b_1 \times q = -7 \times 2 = -14\)
   \(b_3 = b_2 \times q = -14 \times 2 = -28\)
   \(b_4 = b_3 \times q = -28 \times 2 = -56\)
   \(b_5 = b_4 \times q = -56 \times 2 = -112\)
   \(b_6 = b_5 \times q = -112 \times 2 = -224\>
3. Найдем сумму первых шести членов:
   Формула для суммы первых n членов геометрической прогрессии: \(S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}\).
   В нашем случае \(n = 6\), \(b_1 = -7\) и \(q = 2\).
   Подставляем значения:
   \(S_6 = \frac{-7(2^6 - 1)}{2 - 1}\)
   \(S_6 = \frac{-7(64 - 1)}{1}\)
   \(S_6 = -7 \times 63\)
   \(S_6 = -441\>

Ответ: Сумма первых шести членов геометрической прогрессии равна -441.