12. Игральную кость бросают дважды. Событие A состоит в том, что при первом броске выпало больше очков, чем при втором; событие B состоит в том, что сумма выпавших очков кратна 3. Определите в таблице элементарных исходов события A∪B и A∩B и найдите их вероятности, если событие B состоит в том, что: а) при втором броске выпало больше очков, чем при первом; б) сумма выпавших очков кратна 3.

В условии видны два подпункта. Для каждого броска возможны числа от 1 до 6, поэтому всего \(6\cdot6=36\) равновероятных исходов.

а) Пусть событие \(B\): при втором броске выпало больше очков, чем при первом.

События \(A\) и \(B\) взаимно противоположны: одновременно они произойти не могут, а их объединение содержит все исходы.

Поэтому:

\[P(A\cup B)=1,\qquad P(A\cap B)=0.\]

б) Пусть событие \(B\): сумма выпавших очков кратна 3.

Событие \(A\) содержит 15 исходов: \((2,1)\), \((3,1)\), \((3,2)\), ..., \((6,5)\).

Событие \(B\) содержит 12 исходов: суммы 3, 6, 9 и 12.

Пересечение \(A\cap B\) состоит из исходов \((2,1)\), \((4,2)\), \((5,1)\), \((5,4)\), \((6,3)\), всего 5 исходов.

Тогда \(A\cup B\) содержит \(15+12-5=22\) исхода.

\[P(A\cup B)=\frac{22}{36}=\frac{11}{18},\qquad P(A\cap B)=\frac{5}{36}.\]

Ответ: а) \(P(A\cup B)=1\), \(P(A\cap B)=0\); б) \(P(A\cup B)=\frac{11}{18}\), \(P(A\cap B)=\frac{5}{36}\).