12. Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8. Найдите наибольшую среднюю линию треугольника.

Решение:

Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Средняя линия параллельна третьей стороне и равна половине её длины.

В прямоугольном треугольнике средняя линия может соединять:

• середины катетов;
• середину одного катета и середину гипотенузы.

Пусть катеты равны \( a=6 \) и \( b=8 \). Найдем длину гипотенузы \( c \) по теореме Пифагора:

\[ c^2 = a^2 + b^2 \]

\[ c^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \]

\[ c = \sqrt{100} = 10 \]

Средние линии треугольника равны:

• Половине гипотенузы: \( m_c = \frac{c}{2} = \frac{10}{2} = 5 \).
• Половине катета \( a \): \( m_a = \frac{a}{2} = \frac{6}{2} = 3 \).
• Половине катета \( b \): \( m_b = \frac{b}{2} = \frac{8}{2} = 4 \).

Наибольшая средняя линия равна половине наибольшей стороны, то есть половине гипотенузы.

Наибольшая средняя линия равна 5.

Ответ: 5