12) log₈ log₂₅ 625 - \(\frac{2}{3}\) log₃ 81;

Решение:

Разделим решение на две части.

Часть 1: \( \log_8 \log_{25} 625 \)

Сначала вычислим \( \log_{25} 625 \). Нам нужно найти \( x \) такое, что \( 25^x = 625 \). Поскольку \( 25^2 = 625 \), то \( \log_{25} 625 = 2 \).

Теперь вычислим \( \log_8 2 \). Нам нужно найти \( y \) такое, что \( 8^y = 2 \). Поскольку \( 8^{1/3} = \sqrt[3]{8} = 2 \), то \( y = \frac{1}{3} \).

Итак, первая часть равна \(\frac{1}{3}\).

Часть 2: \(\frac{2}{3}\) log₃ 81

Сначала вычислим \( \log_3 81 \). Нам нужно найти \( z \) такое, что \( 3^z = 81 \). Поскольку \( 3^4 = 81 \), то \( \log_3 81 = 4 \).

Теперь умножим на \(\frac{2}{3}\): \( \frac{2}{3} \times 4 = \frac{8}{3} \).

Итоговое вычисление:

\(\frac{1}{3} - \frac{8}{3} = \frac{1 - 8}{3} = \frac{-7}{3}\).

Ответ: \(-\frac{7}{3}\)