12. На клетчатой бумаге изображён треугольник АВС. Во сколько раз отрезок АМ длиннее отрезка ВМ.

Решение:

Определим координаты точек А, В, М, исходя из расположения на клетчатой бумаге:

• Пусть \( A = (1, 1) \)
• \( B = (5, 4) \)
• \( M = (3, 3) \)

Найдем длину отрезка АМ по формуле расстояния между двумя точками \( (x_1, y_1) \) и \( (x_2, y_2) \): \( d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} \)

Длина АМ:

\( AM = \sqrt{(3-1)^2 + (3-1)^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \)

Длина ВМ:

\( BM = \sqrt{(3-5)^2 + (3-4)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \)

Чтобы узнать, во сколько раз отрезок АМ длиннее отрезка ВМ, разделим длину АМ на длину ВМ:

\( \frac{AM}{BM} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{5}}{5} = \frac{2\sqrt{10}}{5} \)

Ответ: \(\frac{2\sqrt{10}}{5}\)