№ 12. На рисунке ABCD — равнобедренная трапеция, AB = CD, BC ∥ AD. Диагонали AC и BD пересекаются в O. Даны ∠BAC = 39° и ∠CBD = 31°. Найдите ∠D и ∠C.

В равнобедренной трапеции углы при основании AD равны: \(\angle A=\angle D\). Из-за параллельности оснований соседние углы при стороне AB составляют 180°, поэтому \(\angle A+\angle B=180°\).

Диагональ AC делит угол A: \(\angle A=39°+\angle CAD\). Диагональ BD делит угол B, причём \(\angle ABD=\angle CAD\): это накрест лежащие углы при параллельных BC и AD.

Обозначим \(x=\angle CAD=\angle ABD\). Тогда \(\angle A=39°+x\), а \(\angle B=x+31°\). Из суммы смежных внутренних углов получаем \((39°+x)+(x+31°)=180°\), откуда \(x=55°\).

Значит, \(\angle A=94°\), и по свойству равнобедренной трапеции \(\angle D=94°\). Углы C и D при боковой стороне дополняют друг друга до 180°, поэтому \(\angle C=86°\).

Ответ: ∠D = 94°, ∠C = 86°.