12. Пересекает ли параболу y = −(x − 2)² + 4 прямая: а) y = −5; б) y = 8; в) y = −60; г) y = x²? При положительном ответе укажите координаты точек пересечения.

а) Приравняем выражение параболы к −5: −(x − 2)² + 4 = −5, откуда (x − 2)² = 9. Тогда x = −1 или x = 5. Пересечения есть: (−1; −5) и (5; −5).

б) Парабола направлена ветвями вниз и имеет наибольшее значение 4. Поэтому прямой y = 8 она не пересекает.

в) Решаем уравнение −(x − 2)² + 4 = −60: (x − 2)² = 64, поэтому x = −6 или x = 10. Пересечения есть: (−6; −60) и (10; −60).

г) Приравняем значения функций: −(x − 2)² + 4 = x². После раскрытия скобок получаем 2x² − 4x = 0, то есть 2x(x − 2) = 0. Следовательно, x = 0 или x = 2; соответствующие значения y равны 0 и 4. Точки пересечения: (0; 0) и (2; 4).

Ответ: а) да, (−1; −5), (5; −5); б) нет; в) да, (−6; −60), (10; −60); г) да, (0; 0), (2; 4).