Ответ:

  1. Прошёл короткий ливень, и на улицах запахло горькой сладостью берёзовых почек. Запятая разделяет части сложного предложения.
  2. Возможности русского языка необъятны, и засорять его иностранными словами и жаргоном ни к чему. Запятая разделяет части сложного предложения.
  3. Официально-деловой стиль речи отличается точностью формулировок и обилием устойчивых оборотов речи. Однородные дополнения соединены одиночным союзом «и».
  4. Зимним утром прилетают на берёзу тетерева и клюют бурые серёжки. Общий для частей обстоятельственный оборот «зимним утром» позволяет не ставить запятую между частями сложного предложения.
  5. Алексей понимал и журчание ручья, и говор листвы, и шёпот трав. Запятые ставятся между однородными дополнениями при повторяющемся союзе «и».