12. Решить показательное уравнение 9х² = 3-4х+6

Решение:

Чтобы решить показательное уравнение, приведем обе части к одному основанию. Заметим, что \( 9 = 3^2 \).

\( 9^{x^2} = 3^{x^2 · 2} = 3^{2x^2} \)

Теперь уравнение выглядит так:

\( 3^{2x^2} = 3^{-4x+6} \)

Поскольку основания равны, мы можем приравнять показатели степеней:

\( 2x^2 = -4x + 6 \)

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\( 2x^2 + 4x - 6 = 0 \)

Разделим все уравнение на 2 для упрощения:

\( x^2 + 2x - 3 = 0 \)

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или дискриминант.

По теореме Виета:

• \( x_1 + x_2 = -2 \)
• \( x_1 · x_2 = -3 \)

Корнями являются \( x_1 = 1 \) и \( x_2 = -3 \).

Проверка:

• При \( x = 1 \): \( 9^{1^2} = 9^1 = 9 \); \( 3^{-4(1)+6} = 3^{-4+6} = 3^2 = 9 \). Верно.
• При \( x = -3 \): \( 9^{(-3)^2} = 9^9 \); \( 3^{-4(-3)+6} = 3^{12+6} = 3^{18} \). Здесь ошибка в условии, предположим, что уравнение выглядит как \( 9^{x^2} = 3^{-4x+6} \)

Если допустить, что уравнение было \( 9^x = 3^{-4x+6} \), то:

\( (3^2)^x = 3^{-4x+6} \)

\( 3^{2x} = 3^{-4x+6} \)

\( 2x = -4x + 6 \)

\( 6x = 6 \)

\( x = 1 \)

Исходя из предоставленного изображения, будем считать, что уравнение было \( 9^{x^2} = 3^{-4x+6} \), и решим его как квадратное.

Ответ: 1; -3