12. Решите систему уравнений: {3x² + 2y² = 50; 12x² − 8y² = 50x}.

Сложим первое уравнение, умноженное на 4, со вторым:

\(12x^2+8y^2=200\), поэтому \(24x^2=200+50x\).

Получаем квадратное уравнение \(12x^2-25x-100=0\). Его корни:

\(x=\dfrac{25\pm5\sqrt{217}}{24}\).

Из первого уравнения \(y^2=\dfrac{50-3x^2}{2}\). При \(x=\dfrac{25+5\sqrt{217}}{24}\) получается \(y^2=\dfrac{25(71-5\sqrt{217})}{192}<0\), поэтому этот корень не подходит.

Для \(x=\dfrac{25-5\sqrt{217}}{24}\) имеем \(y^2=\dfrac{25(71+5\sqrt{217})}{192}\), откуда \(y=\pm5\sqrt{\dfrac{71+5\sqrt{217}}{192}}\).

Ответ: \(\left(\dfrac{25-5\sqrt{217}}{24},\ 5\sqrt{\dfrac{71+5\sqrt{217}}{192}}\right)\) и \(\left(\dfrac{25-5\sqrt{217}}{24},\ -5\sqrt{\dfrac{71+5\sqrt{217}}{192}}\right)\).