12. Сколько интервалов убывания имеет функция f(x) = x³ - 3x²?

Решение:

Найдем производную функции: \( f'(x) = 3x^2 - 6x \).

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: \( 3x^2 - 6x = 0 \).

Вынесем общий множитель: \( 3x(x - 2) = 0 \).

Критические точки: \( x = 0 \) и \( x = 2 \).

Определим знаки производной на интервалах:

• На \( (-\infty; 0) \) производная положительна (например, \( f'(-1) = 3(-1)^2 - 6(-1) = 3 + 6 = 9 > 0 \)), значит, функция возрастает.
• На \( (0; 2) \) производная отрицательна (например, \( f'(1) = 3(1)^2 - 6(1) = 3 - 6 = -3 < 0 \)), значит, функция убывает.
• На \( (2; +\infty) \) производная положительна (например, \( f'(3) = 3(3)^2 - 6(3) = 27 - 18 = 9 > 0 \)), значит, функция возрастает.

Функция убывает на интервале \( (0; 2) \). Таким образом, функция имеет один интервал убывания.

Ответ: 1) 1.